Question

19．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+a}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t为参数），在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的才长度单位建立极坐标系，设圆M的极坐标方程为：ρ²-6ρsinθ=-5．
（1）求圆M的直角坐标方程；
（2）若直线l截圆所得弦长为2$\sqrt{3}$，求整数a的值．

Answer 1

分析 （1）由圆M的极坐标方程为：ρ²-6ρsinθ=-5，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直角坐标方程．通过配方可得圆心M，半径r．
（2）把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+a}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t为参数）化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心M （0，3）到直线l的距离d，利用弦长公式即可得出．

解答 解：（1）∵圆M的极坐标方程为：ρ²-6ρsinθ=-5．
可得直角坐标方程：x²+y²-6y=-5，配方为：x²+（y-3）²=4．
∴圆 M 的直角坐标方程为：：x²+（y-3）²=4．圆心M（0，3），半径r=2．
（2）把直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+a}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t为参数）化为普通方程得：3x+4y-3a+4=0，
∵直线l截 圆 M 所 得 弦 长 为2$\sqrt{3}$，
且圆M 的 圆 心 M （0，3）到直线l的距离d=$\frac{|12-3a+4|}{5}$=$\frac{|16-3a|}{5}$．
∴$（\sqrt{3}）^{2}$=2²-$（\frac{16-3a}{5}）^{2}$，
化为：16-3a=±5，
解得a=$\frac{11}{3}$或7．
又a∈Z，∴a=7．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与椭圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．