Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinπx+cosπx，x∈R．
（1）若方程f（x）=2m-3有实数解，求m的取值范围；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）由两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的值域求出f（x）的值域，由条件列出不等式，求出m的取值范围；
（2）根据正弦函数的增区间和整体思想求出函数f（x）的单调增区间．

解答 解：（1）由题意得，
f（x）=$\sqrt{3}$sinπx+cosπx=$2sin（πx+\frac{π}{6}）$，
∴f（x）的值域是[-2，2]，
∵方程f（x）=2m-3有实数解，
∴-2≤2m-3≤2，解得；$\frac{1}{2}≤m≤\frac{5}{2}$，
∴m的取值范围是[$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]；
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤πx+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{2}{3}+2k≤x≤\frac{1}{3}+2k（k∈Z）$，
∴f（x）单调递增区间是$[-\frac{2}{3}+2k，\frac{1}{3}+2k]（k∈Z）$．

点评 本题考查了两角和的正弦公式，以及正弦函数的图象与性质，考查整体思想，化简、变形能力．