Question

3．函数f（x）的定义域为R，f（1）=3，对任意x∈R，f′（x）＜2，则f（x）＜2x+1的解集为（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-1，1）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，+∞）

Answer 1

分析 构造g（x）=f（x）-2x-1，则原不等式就化为g（x）＜0=g（1），再利用导数研究g（x）的单调性，即可得出答案．

解答 解：令g（x）=f（x）-2x-1，则g（1）=f（1）-2-1，
因为f（1）=3，所以g（1）=3-2-1=0
由f（x）＜2x+1，即f（x）-2x-1＜0，即g（x）＜g（1）；
因为f'（x）＜2，所以g'（x）=f'（x）-2＜0
所以，g（x）是R上的减函数；
则由g（x）＜g（1）⇒x＞1；
所以，不等式f（x）＜2x+1的解集为{x|x＞1}．
故选A．

点评 本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题．