Question

13．如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，∠BCD=45°，AB=AD=PB=1，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求证：平面PCD⊥平面PBD；
（2）求二面角A-BE-D的正弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）欲证CD⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CD与平面PAC内两相交直线垂直，根据PB⊥底面ABCD，则PB⊥CD，利用勾股定理可知BD⊥CD，PB∩BC=B，满足定理条件；
（2）先求平面EBD的法向量与平面ABE的法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

解答 证明：（1）∵PB⊥底面ABCD．底面ABCD为直角梯形，∠ABC=90°，∴AB⊥BC．
PB⊥底面ABCD．
而CD?底面ABCD，∴PB⊥CD．
在底面ABCD中，∵∠ABC=∠BAD=90°，AB=AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴BD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，∴BD⊥CD．
又∵PB∩BD=B，∴CD⊥平面PAC．
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBD．
解：（2）设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），B（0，0，0），E（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），D（1，1，0），
$\overrightarrow{BE}$=（0，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），$\overrightarrow{BD}$=（1，1，0），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{n}=x+y=0}\\{\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{n}=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，1$），
又∵平面ABE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
即二面角A-BE-D的大小的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题主要考查直线与平面的位置关系、两异面直线所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．