Question

8．四面体ABCD中，∠CDB=∠CAB=90°，∠BCD=∠BCA=30°，BC=2，点D在平面ABC上的射影在棱BC上，点M在棱BD上，BM=λBD．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）二面角A-MC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）作DO⊥平面CAB，交CB于O，连结AO，则AO⊥平面BDC，由DO⊥BC，AO⊥BC，能证明AD⊥BC．
（Ⅱ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ的值．

解答 证明：（Ⅰ）∵四面体ABCD中，∠CDB=∠CAB=90°，∠BCD=∠BCA=30°，
∴△CDB≌△CAB，
∵BC=2，点D在平面ABC上的射影在棱BC上，
作DO⊥平面CAB，交CB于O，连结AO，
∴AO⊥平面BDC，
∵DO⊥BC，AO⊥BC，AO∩DO=O，
∴BC⊥平面AOD，
∵AD?平面AOD，∴AD⊥BC．
解：（Ⅱ）BD=AB=1，AC=DC=$\sqrt{3}$，DO=AO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CO=$\frac{3}{2}$，BO=$\frac{1}{2}$，
以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），B（0，$\frac{1}{2}$，0），C（0，-$\frac{3}{2}$，0），D（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（0，-$\frac{3}{2}$，0），
∵点M在棱BD上，BM=λBD，二面角A-MC-B的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴设M（0，b，c），$\overrightarrow{DM}=λ\overrightarrow{DB}$，0≤λ≤1，
则（0，b+$\frac{3}{2}$，c）=λ（0，$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），解得b=$\frac{1}{2}λ$，c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}λ}{2}$，∴M（0，$\frac{1}{2}λ$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}λ$），
$\overrightarrow{CM}$=（0，$\frac{λ}{2}$+$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}λ$），$\overrightarrow{CA}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
设平面CAM的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=\frac{λ+3}{2}y+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}λ}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-1$，$\frac{λ+3}{\sqrt{3}-\sqrt{3}λ}$），
平面MCB的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4+（\frac{λ+3}{\sqrt{3}-\sqrt{3}λ}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
解得λ=$\frac{9-\sqrt{33}}{8}$或$λ=\frac{9+\sqrt{33}}{8}$（舍），
∴λ的值为$\frac{9-\sqrt{33}}{8}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．