Question

1．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x-a|+|x+b|的最小值为2．
（Ⅰ）求a+b的值；
（Ⅱ）证明：a²+a＞2与b²+b＞2不可能同时成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a＞0，b＞0，得到f（x）=|x-a|+|x+b|≥a+b，由此能求出a+b的值．
（Ⅱ）推导出ab≤1．假设a²+a＞2与b²+b＞2同时成立，则ab＞1，这与ab≤1矛盾，从而a²+a＞2与b²+b＞2不可能同时成立．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，
∴f（x）=|x-a|+|x+b|≥|（x-a）-（x+b）|=|-a-b|=|a+b|=a+b，
∴f（x）_min=a+b．
由题设条件知f（x）_min=2，
∴a+b=2．…5分
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）及基本不等式，得2$\sqrt{ab}$≤a+b=2，∴ab≤1．
假设a²+a＞2与b²+b＞2同时成立，
则由a²+a＞2及a＞0，得a＞1．
同理b＞1，∴ab＞1，这与ab≤1矛盾．
故a²+a＞2与b²+b＞2不可能同时成立．…10分．

点评 本题考查两数和的求法，考查两个不等式不可能同时成立的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意含绝对值不等式的性质的合理运用．