Question

2．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形．侧棱PA⊥底面ABCD．M、N分别为PD、AC的中点．
（1）证明：平面PAC⊥平面MND：
2）若直线MN与平面ABCD所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．求二面角A-MN-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，利用正方形的性质可得：DA⊥AC．利用侧棱PA⊥底面ABCD，可得PA⊥DN．再利用线面垂直与面面垂直的判定与性质定理可得平面PAC⊥平面MND．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2，PA=2t．取AD的中点E，连接EM，EN．利用三角形中位线定理及其线面垂直的性质定理可得EM⊥底面ABCD．
因此∠MNE是直线MN与平面ABCD所成的角，在Rt△EMN中，$\frac{EN}{MN}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得t=$\frac{1}{2}$．再利用法向量的夹角公式即可得出．

解答 证明：（1）如图所示，由底面ABCD是正方形，N为对角线AC的中点，∴DA⊥AC
∵侧棱PA⊥底面ABCD，DN?底面ABCD，
∴PA⊥DN．
∴DN⊥平面PAC，
∵DN?平面MND，
∴平面PAC⊥平面MND．
解：（2）建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2，PA=2t．
取AD的中点E，连接EM，EN．
则EM∥PA，∵侧棱PA⊥底面ABCD，∴EM⊥底面ABCD．
∴∠MNE是直线MN与平面ABCD所成的角，ME⊥EN．
在Rt△EMN中，EN=1，EM=t，MN=$\sqrt{1+{t}^{2}}$．
∴$\frac{EN}{MN}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，解得t=$\frac{1}{2}$．
∴A（0，0，0），D（0，2，0），P（0，0，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$），N（1，1，0）．
$\overrightarrow{NM}$=$（-1，0，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{AN}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DN}$=（1，-1，0）．
设平面AMN的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{NM}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，则y=-1，z=2，
∴$\overrightarrow{m}$=（1，-1，2）．
同理可得平面MND的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}$=$\frac{2}{3}$．，
∴$sin＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\sqrt{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查了空间平行与垂直的位置关系、利用法向量的夹角求二面角的平面角、正方形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．