Question

2．求下列函数的值域：
（1）y=$\frac{3x+1}{x-2}$；
（2）y=$\frac{5}{2{x}^{2}-4x+3}$；
（3）y=x+4$\sqrt{1-x}$；
（4）y=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$（x＞1）

Answer 1

分析 （1）根据分式函数的性质，利用分子常数化进行求解．
（2）分母进行平方，利用一元二次函数以及分式函数的性质进行求解，
（3）利用换元法转化为一元二次函数进行求解．
（4）利用分式的性质，结合基本不等式的应用进行求解．

解答 解：（1）y=$\frac{3x+1}{x-2}$=$\frac{3（x-2）+7}{x-2}$=3+$\frac{7}{x-2}$，则y≠3，
即函数的值域为（-∞，3）∪（3，+∞）；
（2）y=$\frac{5}{2{x}^{2}-4x+3}$=$\frac{5}{2（x-1）^{2}+1}$，
∵2（x-1）²+1≥1，∴$\frac{5}{2（x-1）^{2}+1}$∈（0，5]，即函数的值域为（0，5]；
（3）由1-x≥0得x≤1，则函数的定义域为（-∞，1]，
设t=$\sqrt{1-x}$，则x=1-t²，t≥0，
则y=x+4$\sqrt{1-x}$=1-t²+4t=-（t-2）²+5，
∵t≥0，∴y≤5，即函数的值域为（-∞，5]
（4）y=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{（x-1）^{2}+2（x-1）+1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2，
∵x＞1，∴x-1＞0，
则y=x-1+$\frac{1}{x-1}$+2≥2+2$\sqrt{（x-1）•\frac{1}{x-1}}$=2+2=4，
当且仅当x-1=$\frac{1}{x-1}$，解集x-1=1，x=2时，取等号，
故函数的值域为[4，+∞）．

点评 本题主要考查函数值域的求解，涉及几种常见求函数值域的方法．要求根据不同的条件选择合适的方法．