练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    7．平面直角坐标系中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=a+t\end{array}$（t为参数，a为常数），曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}$（α为参数，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
    （1）写出直线l与曲线C的极坐标方程；
    （2）若直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数a的值．

    分析 （1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}$（α为参数，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），利用cos2α+sin2α=1化为直角坐标方程，再利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ=0，可得极坐标方程（$0≤θ≤\frac{π}{2}$）．直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=a+t\end{array}$（t为参数，a为常数），消去参数t可得直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标互化公式即可化为极坐标方程．
    （2）将ρ=4sinθ（$0≤θ≤\frac{π}{2}$）代入ρcosθ-ρsinθ+a=0可得：$2\sqrt{2}sin（{2θ+\frac{π}{4}}）=2-a$，令$2θ+\frac{π}{4}=t$，如图作出$y=2\sqrt{2}sint$（$\frac{π}{4}≤t≤\frac{5π}{4}$）和y=2-a的图象，即可得出．

    解答 解：（1）曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosα\\ y=2+2sinα\end{array}$（α为参数，-$\frac{π}{2}$≤α≤$\frac{π}{2}$），
    化为直角坐标方程：x2+（y-2）2=4，
    展开可得：x2+y2-4y=0，化为极坐标方程：ρ2-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ（$0≤θ≤\frac{π}{2}$），
    直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=a+t\end{array}$（t为参数，a为常数），
    消去参数t可得：y=a+x，化为极坐标方程：ρcosθ-ρsinθ+a=0．
    （2）将ρ=4sinθ（$0≤θ≤\frac{π}{2}$）代入ρcosθ-ρsinθ+a=0得：4sinθcosθ-4sinθsinθ+a=0，即$2\sqrt{2}sin（{2θ+\frac{π}{4}}）=2-a$，
    令$2θ+\frac{π}{4}=t$，∵$0≤θ≤\frac{π}{2}$，则$\frac{π}{4}≤t≤\frac{5π}{4}$．如图作出$y=2\sqrt{2}sint$（$\frac{π}{4}≤t≤\frac{5π}{4}$）和y=2-a的图象，
    由直线l与曲线C有且只有一个公共点，得$2-a=2\sqrt{2}$或-2≤2-a＜2，
    即$a=2-2\sqrt{2}$或0＜a≤4．

    点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    17．如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=λAD=λAA′（λ＞0），E，F分别是A′C′和AD的中点，且EF⊥平面A′BCD′．
    （1）求λ的值；
    （2）求二面角C-A′B-E的余弦值．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    18．已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2-x）=0，函数f（x）=$\sqrt{1-{x^2}}$的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（　　）
    A．（$\frac{1}{8}$，+∞）B．（$\frac{1}{3}$，$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$）C．（$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，+∞）D．（2$\sqrt{2}$，3）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    15．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x-2）2+（y-3）2=9，若过点M（0，3）的直线与圆C交于P，Q两点（其中点P在第二象限），且∠PMO=2∠PQO，则点Q的横坐标为1．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    2．求下列函数的值域：
    （1）y=$\frac{3x+1}{x-2}$；
    （2）y=$\frac{5}{2{x}^{2}-4x+3}$；
    （3）y=x+4$\sqrt{1-x}$；
    （4）y=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$（x＞1）

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    12．设a＞1，a2x＞a3，则x的取值范围是x＞$\frac{3}{2}$．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    1．已知函数f（x）=x2+ln（x-a），a∈R．
    （Ⅰ）若f（x）有两个不同的极值点，求a的取值范围；
    （Ⅱ）当a≤-2时，令g（a）表示f（x）在[-1，0]上的最大值，求g（a）的表达式；
    （Ⅲ）求证：$\frac{3{n}^{2}+5n}{8{n}^{2}+24n+16}$+ln$\sqrt{n+1}$$＜1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$，n∈N*．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    18．如图，是某几何体的三视图和直观图，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，点P在棱BC上，且AP∥平面CDE．
    （Ⅰ）求点P到平面CDE的距离；
    （Ⅱ）求二面角A-CD-E的大小．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    19．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+a}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$（t为参数），在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的才长度单位建立极坐标系，设圆M的极坐标方程为：ρ2-6ρsinθ=-5．
    （1）求圆M的直角坐标方程；
    （2）若直线l截圆所得弦长为2$\sqrt{3}$，求整数a的值．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案