Question

17．如图所示，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB=λAD=λAA′（λ＞0），E，F分别是A′C′和AD的中点，且EF⊥平面A′BCD′．
（1）求λ的值；
（2）求二面角C-A′B-E的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA、DC、DD′分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ的值．
（2）求出平面EA′B的一个法向量和平面A′BC的法向量，利用向量法能求出二面角C-A′B-E的余弦值．

解答 解：（1）以D为原点，DA、DC、DD′分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
D（0，0，0），A′（2，0，2），D′（0，0，2），
B（2，2λ，0），C（0，2λ，0），
E（1，λ，2），F（1，0，0），$\overrightarrow{EF}$=（0，-λ，-2），
$\overrightarrow{{D}^{'}{A}^{'}}$=（2，0，0），$\overrightarrow{{A}^{'}B}$=（0，2λ，-2），
∵EF⊥平面A′BCD′，
∴EF⊥D′A′，EF⊥A′B，∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{{D}^{'}{A}^{1}}=0}\\{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{{A}^{'}B}=-2{λ}^{2}+4=0}\end{array}\right.$，
解得$λ=\sqrt{2}$或$λ=-\sqrt{2}$（舍），
∴λ的值为$\sqrt{2}$．
解：（2）设平面EA′B的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（1，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}^{'}B}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}^{'}E}=0}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{{A}^{'}B}=（0，2\sqrt{2}，-2）$，$\overrightarrow{{A}^{'}E}$=（-1，$\sqrt{2}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}y-2z=0}\\{-1+\sqrt{2}y=0}\end{array}\right.$，∴y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，z=1，∴$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），
∵EF⊥平面A′BCD′．
∴$\overrightarrow{EF}$=（0，-$\sqrt{2}$，-2）是平面A′BC的法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{EF}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{0-1-2}{\sqrt{\frac{5}{2}×\sqrt{6}}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
由图形知二面角C-A′B-E的平面角为锐角，
∴二面角C-A′B-E的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．