Question

18．已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2-x）=0，函数f（x）=$\sqrt{1-{x^2}}$的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g²（x）=a（x+1）²有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{8}$，+∞）
• B． （$\frac{1}{3}$，$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$）
• C． （$\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，+∞）
• D． （2$\sqrt{2}$，3）

Answer 1

分析 根据条件判断函数的周期性，求出函数在一个周期内的图象，将方程g²（x）=a（x+1）²有3个不同的实数转化为g（x）=$±\sqrt{a}$|x+1|有3个交点，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2-x）=0，
∴g（x）=-g（2-x）=-g（x-2），
则g（x+2）=-g（x），即g（x+4）=-g（x+2）=-（-g（x））=g（x），
则函数g（x）是周期为4的周期函数，
函数f（x）=$\sqrt{1-{x^2}}$的定义域为[-1，1]，
若1≤x≤2，则-2≤-x≤-1，则0≤2-x≤1，此时g（x）=-g（2-x）=-$\sqrt{1-（2-x）^{2}}$，
当-2≤x≤-1，则1≤-x≤2，则g（x）=g（-x）=-$\sqrt{1-（2+x）^{2}}$
则由g²（x）=a（x+1）²得，
当-2≤x≤-1时，1-（x+2）²=a（x+1）²，
作出函数g（x）的图象如图：
若方程g²（x）=a（x+1）²有3个不同的实数根，
则当a≤0时，不满足条件．
则当a＞0时，
方程等价为g（x）=±$\sqrt{a（x+1）^{2}}$=$±\sqrt{a}$|x+1|，
则当x=-1时，方程g（x）=$±\sqrt{a}$|x+1|恒成立，此时恒有一解，
当直线y=-$\sqrt{a}$（x+1）与g（x）在（-4，-3）相切时，此时方程g（x）=$±\sqrt{a}$|x+1|有6个交点，不满足条件．
当y=-$\sqrt{a}$（x+1）与g（x）在（-4，-3）不相切时，满足方程g（x）=$±\sqrt{a}$|x+1|有三个交点，
此时直线方程为$\sqrt{a}$x+y+$\sqrt{a}$=0，满足圆心（-4，0）到直线$\sqrt{a}$x+y+$\sqrt{a}$=0，的距离d=$\frac{|-4\sqrt{a}+\sqrt{a}|}{\sqrt{a+1}}$＞1，
即$\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{a+1}}$＞1，即3$\sqrt{a}$＞$\sqrt{a+1}$，平方得9a＞a+1，得8a＞1，则a＞$\frac{1}{8}$，
故选：A

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用条件判断函数的周期性，求出函数在一个周期内的图象，利用转化法和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．