Question

5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF；
（2）求异面直线AD与BE所成角的余弦值；
（3）二面角B-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PD⊥BC，CD⊥BC，从而DE⊥BC，再求出EF⊥PB，DE⊥PC，由此能证明PB⊥平面DEF．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD与BE所成角的余弦值．
（3）求出平面BDE的法向量和平面DEF的法向量，利用向量法能求出二面角B-DE-F的余弦值．

解答 证明：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥BC，CD⊥BC，
∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，
∵DE?平面PBC，∴DE⊥BC，
∵PD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，
∴EF⊥PB，DE⊥PC，
∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC，
∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB，
∵DE∩EF=E，∴PB⊥平面DEF．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PD=CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=1，
则A（$\sqrt{2}$，0，0），D（0，0，0），B（$\sqrt{2}$，1，0），E（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AD}$=（-$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{BE}$=（-$\sqrt{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
设异面直线AD与BE所成角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{\frac{5}{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴异面直线AD与BE所成角的余弦值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（3）D（0，0，0），B（$\sqrt{2}$，1，0），E（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），P（0，0，1），
设F（a，b，c），$\overrightarrow{PF}=λ\overrightarrow{PB}$，0≤λ≤1，
则（a，b，c-1）=λ（$\sqrt{2}，1，-1$），解得$a=\sqrt{2}λ，b=λ，c=1-λ$，∴F（$\sqrt{2}λ，λ，1-λ$），
$\overrightarrow{DF}$=（$\sqrt{2}λ，λ，1-λ$），$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{2}，1，-1$），
∵$\overrightarrow{DF}$⊥$\overrightarrow{PB}$，∴$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{PB}$=2λ+λ-1+λ=0，解得λ=$\frac{1}{4}$，∴F（$\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{1}{4}，\frac{3}{4}$），
$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{2}，1，0$），$\overrightarrow{DE}$=（0，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{\sqrt{2}}{4}，\frac{1}{4}，\frac{3}{4}$），
设平面BDE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=\sqrt{2}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，-2$，0），
设平面DEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}{y}_{1}+\frac{1}{2}{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=\frac{\sqrt{2}}{4}{x}_{1}+\frac{1}{4}{y}_{1}+\frac{3}{4}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取y₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{2}$，1，-1），
设二面角B-DE-F的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{0}{\sqrt{6}•\sqrt{4}}$=0，
∴二面角B-DE-F的余弦值为0．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．