Question

有下列命题：
①设集合M={x|0＜x≤3}，N={x|0＜x≤2}，则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件；
②“|

a

+

b

|＜1”是“|

a

|+|

b

|＜1”的必要不充分条件；
③“a=1”是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；
④命题P：“?x₀∈R，x₀²-x₀-1＞0”的否定?P：“?x∈R，x²-x-1≤0”．
则上述命题中为真命题的是（　　）

A．①②③④

B．①③④

C．②④

D．②③④

Answer 1

分析：①由集合M={x|0＜x≤3}?N={x|0＜x≤2}，则a∈N⇒a∈M，但a∈M时，如a∉N不一定成立，可判断①
②由|

a

+

b

|≤|

a

|+|

b

|，可判断②
③若a=1，则直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直；但直线x-ay=0与x+ay=0垂直，则a²-1=0，可判断故③
④个根据特称命题命题P：“?x₀∈R，x₀²-x₀-1＞0”的否定是全称命题可判断④

解答：解：①由于集合M={x|0＜x≤3}?N={x|0＜x≤2}，则a∈N⇒a∈M，但a∈M时，如a=3∉N，从而可得“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件，故①错误
②由于|

a

+

b

|≤|

a

|+|

b

|，
若|

a

|+|

b

|＜1，则|

a

|+|

b

|＜1不一定成立；若|

a

|+|

b

|＜1，则|

a

+

b

|＜1一定成立，即|

a

+

b

|＜1是|

a

|+|

b

|＜1的必要不充分条件，故②正确
③若a=1，则直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直；若直线x-ay=0与x+ay=0垂直，则a²-1=0即a=±1，故③错误
④命题P：“?x₀∈R，x₀²-x₀-1＞0”的否定?P：“?x∈R，x²-x-1≤0”．故④正确
故选C

点评：本题主要考查了命题的真假判断，解题的关键是熟练掌握基本知识并能灵活应用，解答此类试题，对考试的知识的掌握的要求较高