Question

一个口袋中装有三个红球和两个白球．第一步：从口袋中任取两个球，放入一个空箱中；第二步：从箱中任意取出一个球，记下颜色后放回箱中．若进行完第一步后，再重复进行三次第二步操作，
（理科）设ξ表示从箱中取出红球的个数，求ξ的分布列，并求出Eξ和Dξ．
（文科）分别求出从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率．

Answer 1

分析：（理）ξ的取值可能为0，1，2，3，然后根据等可能事件的概率公式求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式和方差公式解之即可；
（文）设从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率分别为P₁、P₂、P₃，然后根据等可能事件的概率公式求出相应的概率即可．

解答：解：（理）ξ的取值可能为0，1，2，3
第一步操作结束后，箱子中没有红球的概率为

C 2 2

C 2 5

=

1

10

，
箱子中有1个红球的概率为

C 1 3 C 1 2

C 2 5

=

3

5

，
箱子中有2个红球的概率为

C 2 3

C 2 5

=

3

10

，-------（3分）
则P(ξ=0)=

1

10

×1+

3

5

×

C

0 3

(

1

2

)3+

3

10

×0=

7

40

，
P(ξ=1)=

1

10

×0+

3

5

×

C

1 3

1

2

(

1

2

)2+

3

10

×0=

9

40

，
P(ξ=2)=

1

10

×0+

3

5

×

C

2 3

(

1

2

)2

1

2

+

3

10

×0=

9

40

，
P(ξ=3)=

1

10

×0+

3

5

×

C

3 3

(

1

2

)3+

3

10

×1=

3

8

，（9分）
所以ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	7 40	9 40	9 40	3 8

--------（10分）
Eξ=0×

7

40

+1×

9

40

+2×

9

40

+3×

3

8

=

9

5

--------（12分）Dξ=(0-

9

5

)2×

7

40

+(1-

9

5

)2×

9

40

+(2-

9

5

)2×

9

40

+(3-

9

5

)2×

3

8

=

63

50

------（14分）
（文）设从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率分别为P₁、P₂、P₃----（2分）
第一步操作结束后，箱子中没有红球的概率为

C 2 2

C 2 5

=

1

10

，
箱子中有1个红球的概率为

C 1 3 C 1 2

C 2 5

=

3

5

，箱子中有2个红球的概率为

C 2 3

C 2 5

=

3

10

，-------（5分）
则P1=

1

10

×0+

3

5

×

C

1 3

1

2

(

1

2

)2+

3

10

×0=

9

40

，--------（8分）
P2=

1

10

×0+

3

5

×

C

2 3

(

1

2

)2

1

2

+

3

10

×0=

9

40

，--------（11分）
P3=

1

10

×0+

3

5

×

C

3 3

(

1

2

)3+

3

10

×1=

3

8

．-------（14分）

点评：本题主要考查了等可能事件的概率，以及离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差，同时考查了计算能力，属于中档题．