Question

15．倾角为$\frac{π}{3}$的直线l过抛物线y²=4x的焦点F与抛物线交于A、B两点，点C是抛物线准线上的动点．
（1）△ABC能否为正三角形？
（2）若△ABC是钝角三角形，求点C纵坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）确定A，B的坐标，利用△ABC为正三角形，分类讨论，即可得出结论；
（2）若△ABC是钝角三角形，分类讨论，利用数量积运算，即可求点C纵坐标的取值范围．

解答 解：（1）直线l方程为y=$\sqrt{3}$（x-1），
由y²=4x可得A（3，2$\sqrt{3}$），B（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）…（2分）
若△ABC为正三角形，则∠CAB=$\frac{π}{3}$，
由∠AFx=$\frac{π}{3}$，那么CA与x轴平行，此时|AC|=4…（4分）
又|AB|=3+$\frac{1}{3}$+2=$\frac{16}{3}$．
与|AC|=|AB|矛盾，所以△ABC不可能是正三角形…（6分）
（2）设C（-1，m），则$\overrightarrow{CA}$=（4，2$\sqrt{3}$-m），$\overrightarrow{CB}$=（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-m），
$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=（m-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²不可以为负，所以∠ACB不为钝角…（9分）
若∠CAB为钝角，则$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$＜0，$\overrightarrow{BA}$=（$\frac{8}{3}$，$\frac{8\sqrt{3}}{3}$），
则$\frac{32}{3}$+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$（2$\sqrt{3}$-m）＜0，得m＞$\frac{10\sqrt{3}}{3}$…（11分）
若角∠ABC为钝角，则$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{BA}$＜0且C、B、A不共线．
可得m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$且m≠-6$\sqrt{3}$…（13分）
综上知，C点纵坐标的取值范围是m＞$\frac{10\sqrt{3}}{3}$或m＜-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$且m≠-6$\sqrt{3}$…（14分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．