Question

10．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C₁恰好将线段AB三等分，则b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 先由双曲线方程确定一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a，利用椭圆与双曲线有公共的焦点，得方程a²-b²=5；设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C₁的方程；对称性知直线y=2x被C₁截得的弦长=2$\sqrt{5}$x，根据C₁恰好将线段AB三等分得：2$\sqrt{5}$x=$\frac{2a}{3}$，从而可解出a²，b²的值，故可得结论．

解答 解：由题意，C₂的焦点为（±$\sqrt{5}$，0），一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易知AB为圆的直径且AB=2a
∴C₁的半焦距c=$\sqrt{5}$，于是得a²-b²=5   ①
设C₁与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C₁的方程得：${x}^{2}=\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+4{a}^{2}}$②，
由对称性知直线y=2x被C₁截得的弦长=2$\sqrt{5}$x，
由题得：2$\sqrt{5}$x=$\frac{2a}{3}$，所以$x=\frac{a}{3\sqrt{5}}$   ③
由②③得a²=11b²  ④
由①④得a²=$\frac{11}{2}$，b²=$\frac{1}{2}$
所以b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题以椭圆，双曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系，解题思路清晰，但计算有点烦琐，需要小心谨慎．