Question

5．双曲线y=$\frac{1}{x}$上任一点的切线与坐标轴围成的面积为2．

Answer 1

分析 求导数，确定切线方程，可得与坐标轴的交点坐标，再求面积即可．

解答 解：∵y=$\frac{1}{x}$，∴y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$
设曲线y=$\frac{1}{x}$上任一点（a，$\frac{1}{a}$），则切线方程为y-$\frac{1}{a}$=-$\frac{1}{{a}^{2}}$（x-a）．
x=0时，y=$\frac{2}{a}$，y=0时，x=2a，
∴曲线y=$\frac{1}{x}$上任一点的切线与坐标轴围成的面积为$\frac{1}{2}$×|2a|×|$\frac{2}{a}$|=2．
故答案为：2．

点评 本题考查导数的几何意义，考查三角形面积的计算，正确求出曲线的切线方程是关键．