Question

15．在二项式（x-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．
（Ⅰ）求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（Ⅱ）设（x-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求p+q．

Answer 1

分析 先求出n，可得通项公式．
（I）因为n=8，所有展开式共有9项，所以第5项的二项式系数最大；
（II）令8-$\frac{4r}{3}$=0得r=6，所以常数项是T₇=$\frac{7}{16}$，即p=$\frac{7}{16}$．令x=1，可得展开式中所有项的系数和，即可得出结论．

解答 解：前三项系数的绝对值分别是1，$\frac{n}{2}$，$\frac{n（n-1）}{8}$．
由题设可知：2×$\frac{n}{2}$=1+$\frac{n（n-1）}{8}$，
整理得：n²-9n+8=9，解得n=8或n=1（舍去）．
通项公式是T_r+1=C₈^r（-$\frac{1}{2}$）^r${x}^{8-\frac{4r}{3}}$．
（I）因为n=8，所有展开式共有9项，所以第5项的二项式系数最大，
展开式中二项式系数最大的项的系数是C₈⁴（-$\frac{1}{2}$）⁴=$\frac{35}{8}$．
（II）令8-$\frac{4r}{3}$=0得r=6，所以常数项是T₇=$\frac{7}{16}$，即p=$\frac{7}{16}$．
令x=1，展开式中所有项的系数和为（$\frac{1}{2}$）⁸=$\frac{1}{256}$，即q=$\frac{1}{256}$．
所以，p+q=$\frac{113}{256}$．

点评 本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定展开式的通项是关键．