Question

4．已知P在△ABC所在平面内，且$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$，则点P是△ABC的（　　）

• A． 重心
• B． 内心
• C． 外心
• D． 垂心

Answer 1

分析 根据 $\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$，移向并根据向量的数量积的运算法则，得到 $\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{CA}$）=0，因此有PB⊥CA，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，根据三角形五心的定义，即可求得结果

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$，
∴$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{CA}$）=0，
∴PB⊥CA，
同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，
∴P是△ABC的垂心．
故选：D．

点评 本小题主要考查向量的数量积的运算法则、三角形垂心等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题