Question

9．已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（-1，4）．
（Ⅰ）求证：$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$；
（Ⅱ）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）运用平面向量的数量积得出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1×（-3）+1×3=0，求解即可．
（II）$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$．$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$，坐标得出点C的坐标为（0，5）．再运用数量积求解得出cosθ=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$＞0．

解答 解（Ⅰ）证明：A（2，1），B（3，2），D（-1，4）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，1），$\overrightarrow{AD}$=（-3，3）．
又∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$=1×（-3）+1×3=0，
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AD}$，若四边形ABCD为矩形，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$．
设C点的坐标为（x，y），则有（1，1）=（x+1，y-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1=1}\\{y-4=1}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=5}\end{array}\right.$
∴点C的坐标为（0，5）．
由于$\overrightarrow{AC}$=（-2，4），$\overrightarrow{BD}$=（-4，2），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BD}$=（-2）×（-4）+4×2=16，$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BD}}|$=2$\sqrt{5}$．
设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$＞0．
故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了运用向量解决平面直线的位置关系，平面几何中的边长，夹角问题，准确计算化简，属于中档题．