Question

17．设f（x）=e^ax（a＞0）．过点P（a，0）且平行于y轴的直线与曲线C：y=f（x）的交点为Q，曲线C过点Q的切线交x轴于点R，则△PQR的面积的最小值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{2e}}{2}$
• C． $\frac{e}{2}$
• D． $\frac{{e}^{2}}{4}$

Answer 1

分析 求出切点Q的坐标，再求出函数的导数，并求出切线的斜率k，设出R点的坐标，由两点的斜率公式，写出斜率k，并求出r，求出△PQRS的面积为S=$\frac{{e}^{{a}^{2}}}{2a}$，再运用导数求出S的最小值即可．

解答 解：∵PQ∥y轴，P（a，0），
∴Q（a，f（a））即（a，${e}^{{a}^{2}}$），
又f（x）=e^ax（a＞0）的导数f′（x）=ae^ax，
∴过Q的切线斜率k=a${e}^{{a}^{2}}$，
设R（r，0），
则k=$\frac{{e}^{{a}^{2}}-0}{a-r}$=a${e}^{{a}^{2}}$，
∴r=a-$\frac{1}{a}$，
即R（a-$\frac{1}{a}$，0），PR=a-（a-$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{a}$，
∴△PQR的面积为S=$\frac{{e}^{{a}^{2}}}{2a}$，
导数S′=$\frac{{e}^{{a}^{2}}（2{a}^{2}-1）}{2{a}^{2}}$，由S′=0得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当a＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，S′＞0，当0＜a＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，S′＜0，
∴a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$为极小值点，也为最小值点，
∴△PQR的面积的最小值为$\frac{{e}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2e}}{2}$．
故选B．

点评 本题主要考查导数的概念和应用，考查应用导数求切线方程，同时考查运用导数求最值，考查基本的运算能力，是一道中档题．