Question

19．在△ABC中，∠BCA=90°，BC在BA的投影为BD（即CD⊥AB），如图，有射影定理BC²=BD•BA．类似，在四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，点P在底面ABC的射影为点O（即PO⊥面ABC），则△PAB，△ABO，△ABC的面积S₁，S₂，S₃也有类似结论，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．

Answer 1

分析 这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，即可得出结论．

解答 解：类似的结论是：S₁²=S₂．S₃…（4分）
这个结论是正确的，证明如下：
连接CO延长交AB于点D，连接PD、OA、OB
∵PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB=P
∴PC⊥面PAB
∴PC⊥PD，PC⊥AB，
又∵PO⊥面ABC，CD为PC在面ABC的射影
∴AB⊥CD．
在△PDC中，由射影定理有：PD²=DO•DC
∴S₁²=（$\frac{1}{2}AB•DP$）²=$\frac{1}{4}$AB²•DO•DC=$\frac{1}{2}AB•DO•\frac{1}{2}AB•DC$=S₂．S₃
故结论正确…（12分）

点评 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．