Question

20．设命题p：“直线x+y-m=0与圆（x-1）²+y²=1不相交”，命题q：“mx²-x-4=0有一正根和一负根．”如果p∨q为真且p∧q为假，求m的取值范围．

Answer 1

分析 对命题P：直线x+y-m=0与圆（x-1）²+y²=1不相交，可得圆心到直线的距离与半径的关系：$\frac{|1+0-m|}{\sqrt{2}}$≥1，解出m的取值范围．对命题q：则又题意得m≠0，△=1+16m＞0，$\frac{-4}{m}$＜0，解得m范围．由于p∨q为真且p∧q为假，可知P与q有且只有一个命题为真命题．求出即可．

解答 解：对命题P：直线x+y-m=0与圆（x-1）²+y²=1不相交，∴$\frac{|1+0-m|}{\sqrt{2}}$≥1，解得$m＞1+\sqrt{2}$或m＜1-$\sqrt{2}$．
p为真命题时m的取值范围是：A=$\{m|m＜1-\sqrt{2}或m＞1+\sqrt{2}\}$．
对命题q：则由题意得m≠0，△=1+16m＞0，$\frac{-4}{m}$＜0，解得m＞0．
q为真命题时m的取值范围是：B={m|m＞0}．
∵p∨q为真且p∧q为假，
可知P与q有且只有一个命题为真命题．
若P假q真时，∁_RA∩B={m|m$＜1-\sqrt{2}$}；
若P真q假时，A∩∁_RB={m|$0＜m≤1+\sqrt{2}$}，
综述：m的取值范围是：{m|m$＜1-\sqrt{2}$或$0＜m≤1+\sqrt{2}$}．

点评 本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次方程有实数根的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．