Question

9．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，已知b²+c²-a²=bc
（1）求角A的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，cosC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求边c的长．

Answer 1

分析 （1）结合已知由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，结合0＜A＜π，可解得A的值．
（2）由已知可得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$，根据正弦定理可得c=$\frac{asinC}{sinA}$的值．

解答 解：（1）由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
结合0＜A＜π，可解得A=$\frac{π}{3}$．
（2）由已知可得：sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
根据正弦定理可得：c=$\frac{asinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．