Question

19．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|≤1，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤$\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值为（　　）

• A． 4-2$\sqrt{3}$
• B． -2
• C． 1
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 利用数量积运算性质、绝对值不等式的性质可得．

解答 解：因为向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|≤1，且|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|≤$\sqrt{3}$，
所以|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²≤3，所以${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}≤3$，|$\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow{b}|$$≤\sqrt{3}$，
所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≥\frac{1+{\overrightarrow{b}}^{2}}{2}$，|$\overrightarrow{b}$|≥2-$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≥4-2$\sqrt{3}$；
所以$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最小值为4-2$\sqrt{3}$；
故选：A．

点评 本题考查了数量积运算性质、绝对值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．