Question

9．在等差数列{a_n}中，a₁=5，d=-1．
（1）求前n项和S_n的最大值及n的值；
（2）求T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）由已知写出等差数列的通项，由通项大于等于0求得n的范围，可知等差数列的前5项大于0，第6项等于0，求出S₅即为S_n的最大值；
（2）对n分类去绝对值求得|a₁|+|a₂|+…+|a_n|的前n项和T_n．

解答 解：（1）在等差数列{a_n}中，由a₁=5，d=-1，得a_n=5-1×（n-1）=6-n，
由a_n=6-n≥0，解得：n≤6，
∴当n=5或n=6时，前n项和S_n的值最大，等于$5×5+\frac{5×4×（-1）}{2}=15$；
（2）当n≤6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a_n=5n+$\frac{n（n-1）×（-1）}{2}$=$-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{11n}{2}$；
当n＞6时，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₆-a₇-a₈-…-a_n
=2（a₁+a₂+…+a₆）-（a₁+a₂+…+a_n）=$2×15-（-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{11n}{2}）$=$\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{11n}{2}+30$．
∴${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{n}^{2}}{2}+\frac{11n}{2}，n≤6}\\{\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{11n}{2}+30，n＞6}\end{array}\right.$．

点评 本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，体现了分类讨论的数学思想方法，属中档题．