Question

14．已知点P（x，y）是函数y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$上的点，则$\frac{y+1}{x}$的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （-∞，$\frac{1}{3}$]
• C． （-∞，$\frac{1}{3}$]∪[1，+∞）
• D． [$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 函数即（x-2）²+y²=1（y≥0），表示以C（2，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于x轴或x轴上方的部分），而$\frac{y+1}{x}$表示半圆上的点（x，y）与点A（0，-1）连线的斜率．再利用直线和圆相切的性质、点到直线的距离公式，数形结合求得$\frac{y+1}{x}$的取值范围．

解答 解：函数y=$\sqrt{-{x}^{2}+4x-3}$，即（x-2）²+y²=1（y≥0），表示以C（2，0）为圆心、
半径等于1的半圆（位于x轴或x轴上方的部分），
而$\frac{y+1}{x}$表示半圆上的点（x，y）与点A（0，-1）连线的斜率．
设过点A的圆的切线斜率为k，点B（3，0），则AB的斜率最小为$\frac{0+1}{3-0}$=$\frac{1}{3}$，如图所示，
则过点A的圆的切线方程为y+1=k（x-0），即kx-y-1=0，则由圆心到切线的距离等于半径，
可得$\frac{|2k-0-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=0（舍去），或k=$\frac{4}{3}$，
故$\frac{y+1}{x}$的取值范围是[$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$]，
故选：D．

点评 本题主要考查直线和圆相切的性质，直线的斜率公式，用点斜式求直线的方程，属于中档题．