Question

2．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则$\sqrt{3}$PA+PB的最大值是2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 可得直线分别过定点（0，0）和（1，3）且垂直，可得|PA|²+|PB|²=10．三角换元后，由三角函数的知识可得$\sqrt{3}$PA+PB的最大值．

解答 解：由题意可得A（0，0），由于直线mx-y-m+3=0，即 m（x-1）-y+3=0，显然经过定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx-y-m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，
则有PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
设∠ABP=θ，则|PA|=$\sqrt{10}$sinθ，|PB|=$\sqrt{10}$cosθ．
∵|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\sqrt{3}$|PA|+|PB|=$\sqrt{30}$sinθ+$\sqrt{10}$cosθ=2$\sqrt{10}$[$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ+$\frac{1}{2}$cosθ）=2$\sqrt{10}$sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∵θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，∴当θ+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，2$\sqrt{10}$sin（θ+$\frac{π}{6}$）取得最大值为 2$\sqrt{10}$，
故答案为：2$\sqrt{10}$．

点评 本题考查直线过定点问题，涉及直线的垂直关系和三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属中档题．