Question

13．已知a，b，c都是互不相等的正数，求证：（a+b+c）（ab+bc+ca）＞9abc．

Answer 1

分析 展开已知不等式可得（a+b+c）（ab+bc+ac）-9abc=b（a-c）²+a（b-c）²+c（a-b）²由a、b、c互不相等，可证（a-c）²＞0 （b-c）²＞0 （a-b）²＞0，即可得证．

解答 证明：∵（a+b+c）（ab+bc+ac）-9abc
=a²b+abc+a²c+ab²+b²c+abc+abc+bc²+ac²-9abc
=a²b+a²c+ab²+b²c+bc²+ac²-6abc
=（a²b+bc²-2abc）+（ab²+ac²-2abc）+（b²c+a²c-2abc）
=b（a²+c²-2ac）+a（b²+c²-2bc）+c（a²+b²-2ab）
=b（a-c）²+a（b-c）²+c（a-b）²
∵a、b、c均为正，a＞0 b＞0 c＞0
∵a、b、c互不相等，（a-c）²＞0 （b-c）²＞0 （a-b）²＞0
∴b（a-c）²+a（b-c）²+c（a-b）²＞0
∴（a+b+c）（ab+bc+ac）-9abc＞0
从而（a+b+c）（ab+bc+ac）＞9abc，不等式成立．

点评 本题主要考查了基本不等式的应用，属于基本知识的考查．