Question

7．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=a+sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=1．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l被圆C截得的弦长为$\sqrt{3}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角差的余弦展开，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ求得答案；
（2）化圆的参数方程为普通方程，求出圆心到直线的距离，结合勾股定理求得实数a的值．

解答 解：（1）由ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=1，得$ρcosθcos\frac{π}{6}+ρsinθsin\frac{π}{6}=1$，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ+\frac{1}{2}ρsinθ=1$，∴$\sqrt{3}x+y-2=0$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=a+sinφ}\end{array}\right.$，得x²+（y-a）²=1．
圆心（0，a）到直线$\sqrt{3}x+y-2=0$的距离为$\frac{|a-2|}{2}$，
又直线l被圆C截得的弦长为$\sqrt{3}$，∴$\frac{（a-2）^{2}}{4}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}=1$，整理得：a=1或a=3．

点评 本题考查参数方程化普通方程，考查极坐标方程化直角坐标方程，考查了直线和圆的位置关系，是基础题．