Question

17．已知$\frac{sinα}{sinβ}$=3，$\frac{cosα}{cosβ}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{sin2α}{sin2β}$+$\frac{cos2α}{cos2β}$的值等于$\frac{49}{58}$．

Answer 1

分析 由已知结合同角三角函数的基本关系式求得$si{n}^{2}α=\frac{27}{35}，si{n}^{2}β=\frac{3}{35}$，把$\frac{sin2α}{sin2β}$+$\frac{cos2α}{cos2β}$展开倍角公式后代值求得答案．

解答 解：∵$\frac{sinα}{sinβ}$=3，$\frac{cosα}{cosβ}$=$\frac{1}{2}$，∴sinα=3sinβ，cosβ=2cosα，
又sin²α+cos²α=1，sin²β+cos²β=1，解得：$si{n}^{2}α=\frac{27}{35}，si{n}^{2}β=\frac{3}{35}$．
则$\frac{sin2α}{sin2β}$+$\frac{cos2α}{cos2β}$=$\frac{2sinαcosα}{2sinβcosβ}$$+\frac{1-2si{n}^{2}α}{1-2si{n}^{2}β}$
=$\frac{2•3sinβcosα}{2sinβ•2cosα}$+$\frac{1-2×\frac{27}{35}}{1-2×\frac{3}{35}}$
=$\frac{3}{2}-\frac{19}{29}=\frac{49}{58}$．
故答案为：$\frac{49}{58}$．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系式，考查了二倍角公式，考查计算能力，是中档题．