Question

6．数列{a_n}中，已知a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n+1）}$（n≥2，n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，并归纳猜想出数列{a_n}的通项公式；
（2）试用数学归纳法证明你归纳猜想出的结论．

Answer 1

分析 （1）根据数列{a_n}的递推公式便容易求出${a}_{2}=\frac{2}{3}，{a}_{3}=\frac{3}{4}，{a}_{4}=\frac{4}{5}$，从而可猜测出${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$；
（2）根据数学归纳法的证明步骤，第一步：n=1时显然成立；第二步：假设n=k时成立，根据递推公式只要求出${a}_{k+1}=\frac{k+1}{k+2}$，也就是说n=k+1时成立，从而最后得出猜想的结论对任意正整数都成立．

解答 解：（1）${a}_{1}=\frac{1}{2}$，${a}_{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$，${a}_{3}=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$，${a}_{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{20}=\frac{4}{5}$；
∴猜测出${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$，n∈N^*；
（2）证明：1）n=1时，显然猜想成立；
2）假设n=k时猜想成立，即${a}_{k}=\frac{k}{k+1}$；
∴根据递推公式n=k+1时，${a}_{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{（k+1）（k+2）}=\frac{{k}^{2}+2k+1}{（k+1）（k+2）}$=$\frac{k+1}{k+2}$；
∴n=k+1时猜想成立；
综上得${a}_{n}=\frac{n}{n+1}$对一切n∈N^*都成立．

点评 考查根据数列{a_n}的递推公式求数列前几项的方法，以及根据数列前几项猜测数列通项公式的方法，熟悉数学归纳法证明命题的方法与过程．