Question

16．已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，抛物线上的点N到F的距离为2，且N的横坐标为1，过焦点F作倾斜角为锐角的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若线段AB的长为8，求直线l的方程；
（3）在C上是否存在点M，使得对任意直线l，直线MA、MD、MB的斜率始终满足2k_MD=k_MA+k_MB？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可设抛物线方程为：y²=2px，利用$1+\frac{p}{2}$=|NF|=2，解得p即可得出；
（2）F（1，0），设直线l方程为y=k（x-1），（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），与抛物线方程联立化为k²x²-（4+2k²）x+k²=0，利用|AB|=x₁+x₂+p=8．即可解出k．
（3）假设存在M$（\frac{{t}^{2}}{4}，t）$，$A（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，直线l方程my=x-1（m＞0）．D$（-1，\frac{-2}{m}）$．直线l方程与抛物线方程联立化为y²-4my-4=0，利用斜率计算公式与根与系数的关系，及其满足2k_MD=k_MA+k_MB，可得$\frac{2（mt+2）}{m（{t}^{2}+4）}$=$\frac{1}{t+{y}_{1}}+\frac{1}{t+{y}_{2}}$，化为（t²-4）m²=0，解出即可．

解答 解：（1）由题意可设抛物线方程为：y²=2px，
∵$1+\frac{p}{2}$=|NF|=2，解得p=2．
∴抛物线方程为：y²=4x．
（2）F（1，0），
设直线l方程为y=k（x-1），（k＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$．
∵|AB|=8，∴$\frac{4+2{k}^{2}}{{k}^{2}}$+2=8，
化为k²=1，又k＞0，
解得k=1．
∴直线l的方程为：y=x-1．
（3）假设存在M$（\frac{{t}^{2}}{4}，t）$，$A（\frac{{y}_{1}^{2}}{4}，{y}_{1}）$，B$（\frac{{y}_{2}^{2}}{4}，{y}_{2}）$，直线l方程my=x-1（m＞0）．
D$（-1，\frac{-2}{m}）$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²-4my-4=0，∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4．
k_MD=$\frac{t+\frac{2}{m}}{\frac{{t}^{2}}{4}+1}$=$\frac{4（mt+2）}{m（{t}^{2}+4）}$，k_MA=$\frac{t-{y}_{1}}{\frac{{t}^{2}}{4}-\frac{{y}_{1}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{t+{y}_{1}}$，k_MB=$\frac{4}{t+{y}_{2}}$，
∵满足2k_MD=k_MA+k_MB，
∴$\frac{2（mt+2）}{m（{t}^{2}+4）}$=$\frac{1}{t+{y}_{1}}+\frac{1}{t+{y}_{2}}$，
∵$\frac{1}{t+{y}_{1}}+\frac{1}{t+{y}_{2}}$=$\frac{2t+{y}_{1}+{y}_{2}}{{t}^{2}+t（{y}_{1}+{y}_{2}）+{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2t+4m}{{t}^{2}+4tm-4}$，
∴$\frac{mt+2}{m（{t}^{2}+4）}$=$\frac{2t+4m}{{t}^{2}+4tm-4}$，
化为（t²-4）m²=0，
因此对于m²＞0，可得t²-4=0，解得t=±2．
因此存在M（1，±2）满足2k_MD=k_MA+k_MB．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦点弦长公式、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．