Question

8．若实数x，y满足x²+y²=1，则$\frac{xy+1}{x+y-1}$的取值范围是（-∞，1-$\sqrt{2}$]∪（$\sqrt{2}$+1，+∞）．

Answer 1

分析 令x=cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π），x+y=t=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．则$\frac{xy+1}{x+y-1}$化简为$\frac{t-1}{2}$+$\frac{1}{t-1}$+1，再令m=t-1∈[-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1]，且m≠0，再利用函数的单调性求得它的范围，综合可得结论．

解答 解：∵实数x，y满足x²+y²=1，可令x=cosθ，y=sinθ，
θ∈[0，2π），
则x+y=t=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，则xy=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
则 $\frac{xy+1}{x+y-1}$=$\frac{sinθcosθ+1}{sinθ+cosθ-1}$=$\frac{\frac{{t}^{2}-1}{2}+1}{t-1}$=$\frac{{t}^{2}+1}{2（t-1）}$=$\frac{{（t-1）}^{2}+2（t-1）+2}{2（t-1）}$
=$\frac{t-1}{2}$+$\frac{1}{t-1}$+1．
令m=t-1∈[-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1]，m≠0，则式子$\frac{xy+1}{x+y-1}$=$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{m}$+1．
令f（m）=$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{m}$+1，m∈[-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1]，且m≠0，如图所示：
由于f′（m）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{m}^{2}}$，
①故当m∈[-$\sqrt{2}$-1，-$\sqrt{2}$）时，f′（m）＞0，f（m）单调递增；
②故当m∈[-$\sqrt{2}$，0）时，f′（m）＜0，f（m）单调递减；
③故当m∈（0，$\sqrt{2}$-1]时，f′（m）＜0，f（m）单调递减．
又当m=-$\sqrt{2}$-1时，f（m）=$\frac{3-3\sqrt{2}}{2}$；当m=-$\sqrt{2}$时，f（m）=1-$\sqrt{2}$；
当m趋于0时，f（m）趋于±∞；当m=$\sqrt{2}$-1时，f（m）=$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$，
结合函数f（m）的图象，
可得m的范围为：：（-∞，1-$\sqrt{2}$]∪（$\sqrt{2}$+1，+∞），
故答案为：（-∞，1-$\sqrt{2}$]∪（$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查三角恒等变换，函数的单调性与导数的关系，求函数的最值，考查计算能力，属于难题．