Question

19．设数列{a_n}中，a_n＞0，2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，求其通项公式．

Answer 1

分析 a_n＞0，2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，可得${S}_{n}=（\frac{{a}_{n}+1}{2}）^{2}$，当n=1时，化为${a}_{1}=（\frac{{a}_{1}+1}{2}）^{2}$，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵a_n＞0，2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，
∴${S}_{n}=（\frac{{a}_{n}+1}{2}）^{2}$，
当n=1时，化为${a}_{1}=（\frac{{a}_{1}+1}{2}）^{2}$，解得a₁=1．
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$（\frac{{a}_{n}+1}{2}）^{2}$-$（\frac{{a}_{n-1}+1}{2}）^{2}$，
化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴数列{a_n}为等差数列，首项为1，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴a_n=2n-1．

点评 本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．