Question

9．设椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的一个顶点与抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点重合，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，过椭圆右焦点F₂的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）是否存在直线l，使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB．是否存在λ，使|AB|²=λ$\sqrt{|{MN}|}$？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过抛物线x²=4$\sqrt{2}$y的焦点可得b=$\sqrt{2}$，利用e=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$可得a²=3，进而可得结论；
（Ⅱ）通过题意可设直线l的方程为：x=my+1，代入椭圆C的方程利用韦达定理及$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1，计算即可；
（Ⅲ）通过设直线l的方程为：x=my+1并代入椭圆C的方程，利用韦达定理及两点间距离公式可得|MN|=$\frac{4\sqrt{3}（1+{m}^{2}）}{3+2{m}^{2}}$，通过设直线AB的方程为：x=my并代入椭圆C的方程，同理可得|AB|²=$\frac{24（1+{m}^{2}）}{3+2{m}^{2}}$，计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知得b=$\sqrt{2}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴a²=3，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）结论：存在直线l：y=±$\sqrt{2}$（x-1），使得$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-1．
理由如下：
若直线l的斜率为0，则$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=-3（舍去）；
若直线斜率不为0，设直线l的方程为：x=my+1，
代入椭圆C的方程，消去y整理得：
（3+2m²）y²+4my-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则有：y₁+y₂=-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$，
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂
=（my₁+1）（my₂+1）+y₁y₂
=（1+m²）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=（1+m²）（-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$）+m（-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$）+1
=-1，
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线l方程为：y=±$\sqrt{2}$（x-1）；
（Ⅲ）结论：存在λ=$\sqrt{12}$，使|AB|²=λ$\sqrt{|{MN}|}$．
理由如下：
设直线l的方程为：x=my+1，
代入椭圆C的方程，消去y整理得：
（3+2m²）y²+4my-4=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则有：y₁+y₂=-$\frac{4m}{3+2{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{4}{3+2{m}^{2}}$，
∴|MN|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{{y}_{1}-{y}_{2}）}^{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（-\frac{4m}{3+2{m}^{2}}）^{2}+4•\frac{4}{3+2{m}^{2}}}$
=$\frac{4\sqrt{3}（1+{m}^{2}）}{3+2{m}^{2}}$，
设直线AB的方程为：x=my，
代入椭圆C的方程，得：y²=$\frac{6}{3+2{m}^{2}}$，
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
则|AB|²=（$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₃-y₄|）²
=（1+m²）4y²=$\frac{24（1+{m}^{2}）}{3+2{m}^{2}}$，
∵$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=2$\sqrt{3}$=$\sqrt{12}$，
∴λ=$\sqrt{12}$，
∴存在λ=$\sqrt{12}$，使|AB|²=λ$\sqrt{|{MN}|}$．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．