Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，∠DAB=60°，AD=1，PD⊥底面ABCD．
（1）设PC，BD的中点分别为E，F，证明：EF∥平面PDA；
（2）若PD=AD，求三棱锥P-BCD的外接球的半径长．

Answer 1

分析 （1）利用线面平行的判定定理证明EF∥PA，即可；
（2）确定E是三棱锥P-BCD的外接球的球心，即可求三棱锥P-BCD的外接球的半径长．

解答 （1）证明：连结AC，在底面ABCD中，F为BD中点，∴F为AC中点
又E是PC中点，在△CPA中，EF∥PA．
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）解：∵底面ABCD为平行四边形，∠DBA=30°，∠DAB=60°，
∴DB⊥BC，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PB⊥BC，PD⊥DC，
∵E是PC的中点，
∴E是三棱锥P-BCD的外接球的球心，
∵∠DBA=30°，∠DAB=60°，AD=1，PD=AD，
∴PD=1，DC=2，PC=$\sqrt{5}$，
∴三棱锥P-BCD的外接球的半径长$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及空间二面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理．