Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，且$\overrightarrow{m}$=$\frac{2\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$+$\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，$\overrightarrow{n}$=-$\frac{3\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$+$\frac{2\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$，求$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$cos120°=-$\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$．
∵$|\overrightarrow{m}|$=$\sqrt{\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}+\frac{{\overrightarrow{b}}^{2}}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}+2×\frac{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}}$=$\sqrt{4+1+4×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{3}$．
同理可得$|\overrightarrow{n}|$=4．
$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$-\frac{6{\overrightarrow{a}}^{2}}{|\overrightarrow{a}{|}^{2}}$+$\frac{2{\overrightarrow{b}}^{2}}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$+$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-6+2-$\frac{1}{2}$=-$\frac{9}{2}$．
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-\frac{9}{2}}{4×\sqrt{3}}$=-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．