Question

12．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinA=-$\sqrt{3}$acosB．
（1）求角B；
（2）若$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=-2，求AC边上的高BD的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理，结合同角的正切公式，即可得到B；
（2）由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=-2，得到ac=4，再结合余弦定理求出b的最小值，面积确定，从而得到其高的最大值．

解答 解：（1）由bsinA═-$\sqrt{3}$acosB，
即由正弦定理得，sinBsinA=-$\sqrt{3}$sinAcosB，
则tanB=$-\sqrt{3}$，
由B∈（0，π），即有B=$\frac{2π}{3}$；
（2）由$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=-2，得ac•cosB=ac$•cos\frac{2π}{3}$=-2，
∴ac=4，则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}ac•sinB=\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
$b=\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2ac•cosB}$=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}+ac}≥\sqrt{3ac}=2\sqrt{3}$．
∴AC边上的高BD的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角形的面积公式及应用，以及同角公式的运用，考查运算能力，属于中档题．