Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其焦距为2c，若椭圆中的a，b，c成等比数列，我们称这样的椭圆为“黄金椭圆”．
（1）求黄金椭圆的离心率；
（2）已知黄金椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的所有焦点分别是F₁（-c，0），F₂（c，0），以A（-a，0），B（a，0），D（0，-b），E（0，b）为顶点的菱形ADBE的内切圆记为⊙M，试判断F₁、F₂与M的位置关系；
（3）若黄金椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（c，0），P为椭圆C上的任意一点，是否存在过点F₂、P的直线l，使得l与y轴的交点r满足$\overrightarrow{RP}$=-3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，若存在，求直线l的斜率k；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆中的a，b，c成等比数列，可得b²=ac，又b²=a²-c²，及其$e=\frac{c}{a}$，解出即可；
（2）直线BE：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0，原点到此直线的距离d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，d²-c²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-c²=0，即可判断出位置关系．
（3）假设存在过点F₂、P的直线l，使得l与y轴的交点R满足$\overrightarrow{RP}$=-3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$．设P（x₀，y₀），直线l的斜率为k，方程为y=k（x-c），可得R（0，-kc）．可得x₀=$\frac{3c}{2}$，y₀=$\frac{kc}{2}$．代入椭圆方程可得：$\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{k}^{2}{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，化简整理并利用e²+e-1=0即可得出．

解答 解：（1）∵椭圆中的a，b，c成等比数列，∴b²=ac，又b²=a²-c²，
∴ac=a²-c²，
化为e²+e-1=0，∵0＜e＜1，解得$e=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
（2）直线BE：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0，原点到此直线的距离d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，∴d²-c²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}$-c²
=$\frac{{-a}^{3}c（{e}^{2}+e-1）}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0，∴d=c．
∴F₁、F₂在⊙M上．
（3）假设存在过点F₂、P的直线l，使得l与y轴的交点R满足$\overrightarrow{RP}$=-3$\overrightarrow{P{F}_{2}}$．
设P（x₀，y₀），直线l的斜率为k，方程为y=k（x-c），可得R（0，-kc）．
∴$\overrightarrow{RP}$=（x₀，y₀+kc），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（c-x₀，-y₀），∴（x₀，y₀+kc）=-3（c-x₀，-y₀），
∴x₀=-3（c-x₀），y₀+kc=-3（-y₀），
解得x₀=$\frac{3c}{2}$，y₀=$\frac{kc}{2}$．
代入椭圆方程可得：$\frac{9{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{{k}^{2}{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
解得k²=$\frac{4{a}^{2}{b}^{2}-9{c}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}{c}^{2}}$=$\frac{ac（4{a}^{2}-9{c}^{2}）}{{a}^{2}{c}^{2}}$=$\frac{4-9{e}^{2}}{e}$=$\frac{4-9（1-e）}{e}$=9-$\frac{5}{e}$=$9-\frac{5×2}{\sqrt{5}-1}$=$\frac{26-10\sqrt{5}}{4}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{26-10\sqrt{5}}}{2}$．
因此存在直线l满足条件，其斜率k=±$\frac{\sqrt{26-10\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查了“黄金椭圆”的标准方程及其性质、菱形的内切圆的性质、点到直线的距离公式、向量坐标运算性质及其相等、点与椭圆的位置关系等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．