Question

15．已知实数a≠0，函数f（x）=a（x-2）²+2lnx．
（1）当a=1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）?x∈[2，+∞）时，f（x）≥x+4a-$\frac{1}{4a}$恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，求导数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调性；
（2）设h（x）=a（x-2）²+2lnx-4a+$\frac{1}{4a}$-x，则h（x）_min≥0在[2，+∞）上恒成立，分类讨论，求出h（x）_min，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=（x-2）²+2lnx，
∴f′（x）=$\frac{2（x-1）^{2}}{x}$，
∵x＞0，
∴f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）设h（x）=a（x-2）²+2lnx-4a+$\frac{1}{4a}$-x，则h（x）_min≥0在[2，+∞）上恒成立①，
∴h′（x）=$\frac{（x-2）（2ax-1）}{x}$．
①a＜0时，∵x＞2，∴h′（x）≤0，
∴h（x）在[2，+∞）上是减函数，且h（4）=2ln4-4+$\frac{1}{4a}$＜0，∴①不成立；
②0＜a＜$\frac{1}{4}$时，2＜$\frac{1}{2a}$，此时h（x）在[2，$\frac{1}{2a}$]上是减函数，在[$\frac{1}{2a}$，+∞）上是增函数，
∴h（x）_min=h（$\frac{1}{2a}$）=-2-ln2a，
∴-2-2ln2a≥0，
∴a≤$\frac{1}{2e}$，
∴0＜a≤$\frac{1}{2e}$时①成立；
③a≥$\frac{1}{4}$时，h（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴h（x）_min=h（2）=2ln2-4a+$\frac{1}{4a}$-2，
∵-4a+$\frac{1}{4a}$≤0，2ln2-2＜0，
∴h（x）_min＜0，∴①不成立；
综上，0＜a≤$\frac{1}{2e}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确转化是关键．