Question

9．已知数列{a_n}的首项a₁=a（a≠0），前n项和S_n=$\frac{n+1}{2}$a_n，数列{b_n}满足b_n=|a_n-1|，若b_n≥b₃对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，0）∪$[\frac{1}{2}，+∞）$．

Answer 1

分析 a₁=a≠0，S_n=$\frac{n+1}{2}$a_n，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$．利用“累乘求积”可得a_n=na．利用b_n=|a_n-1|=|na-1|，b_n≥b₃对任意正整数n恒成立，可得|na-1|≥|3a-1|，化简整理解出即可．

解答 解：∵a₁=a≠0，S_n=$\frac{n+1}{2}$a_n，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n+1}{2}{a}_{n}$-$\frac{n}{2}{a}_{n-1}$，
化为$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n}{n-1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁=$\frac{n}{n-1}$$•\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{2}{1}$×a=na．
∴b_n=|a_n-1|=|na-1|，
∵b_n≥b₃对任意正整数n恒成立，
∴|na-1|≥|3a-1|，
化为a$（a-\frac{2}{n+3}）$≥0，a≠0．
∴a＜0或a$≥\frac{2}{n+3}$，
∴a＜0或$a≥\frac{1}{2}$．
∴a的取值范围是：（-∞，0）∪$[\frac{1}{2}，+∞）$．
故答案为：（-∞，0）∪$[\frac{1}{2}，+∞）$．

点评 本题考查了递推式的应用、绝对值的应用、一元二次不等式的解法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．