Question

3．设向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx），x∈R
（1）若x=π，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$夹角的余弦值；
（2）若函数f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$，求f（x）的最大值与最小正周期．

Answer 1

分析 （1）将x=π代入向量坐标，利用数量积公式求向量夹角；
（2）利用数量积的坐标运算得到函数解析式，然后化简解析式为最简形式，结合三角函数性质解答．

解答 解：（1）x=π，则$\overrightarrow{a}$=（0，-1），$\overrightarrow{b}$=（-1，-1），所以$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（-1，-2），
向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$夹角的余弦值为：$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）函数f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$=（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）=sin²x+sinxcosx+2cos²x=1+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{3}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
所以f（x）的最大值$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$，最小正周期$\frac{2π}{2}=π$．

点评 本题考查了向量的数量积公式，以及三角函数的化简与公式．