Question

19．已知在等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₂+a₄=20，设c_n=11-log₂a_2n．
（1）求数列{c_n}的通项；
（2）求数列{c_n}前n项和S_n的最大值．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比是q，根据题意和等比数列的通项公式列出方程组，求出q和a₁，代入等比数列的通项公式求出a_n，代入c_n=11-log₂a_2n化简即可；
（2）由c_n的式子特点判断出数列{c_n}是等差数列，利用等差数列的前n项和公式和二次函数的性质求出S_n的最大值．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比是q，
∵a₁+a₃=10，a₂+a₄=20，∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}=10}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，q=2，∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
∴c_n=11-log₂a_2n=11-2n；
（2）由（1）得，c_n=11-2n，
∴数列{c_n}是以9为首项、-2为公差的等差数列，
∴S_n=$\frac{n（9+11-2n）}{2}$=-n²+10n=-（n-5）²+25，
则当n=5时，S_n取最大值，且最大值是25．

点评 本题考查等比数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及利用二次函数的性质求数列前n项和的最值，属于中档题．