Question

9．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC+$\frac{1}{2}$c=b．
（1）求角A的大小；
（2）若b²-c²=$\frac{1}{2}$a²，求sinB•cosC的值；
（3）若7c²-7b²=5a²，求$\frac{b}{c}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理把cosC代入，再利用余弦定理即可得出；
（2）由b²-c²=$\frac{1}{2}$a²，利用正弦定理可得：$si{n}^{2}B-si{n}^{2}C=\frac{1}{2}si{n}^{2}A$=$\frac{3}{8}$，又acosC+$\frac{1}{2}$c=b，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC=sinB$，可得：$\frac{1}{2}$sinCcosC=$\frac{\sqrt{3}}{8}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin²C-$\frac{\sqrt{3}}{4}co{s}^{2}C$，代入sinB•cosC，化简整理即可得出．
（3）利用（1）的结论a²=b²+c²-bc，代入即可得出；

解答 解：（1）∵acosC+$\frac{1}{2}$c=b．
∴$a×\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$\frac{1}{2}c$=b，化为c²+b²-a²=bc．
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵b²-c²=$\frac{1}{2}$a²，利用正弦定理可得：$si{n}^{2}B-si{n}^{2}C=\frac{1}{2}si{n}^{2}A$=$\frac{1}{2}×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}$，（*）
又acosC+$\frac{1}{2}$c=b，∴$\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC=sinB$，
代入（*）可得：$\frac{1}{2}$sinCcosC=$\frac{\sqrt{3}}{8}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin²C-$\frac{\sqrt{3}}{4}co{s}^{2}C$，
∴sinB•cosC=$（\frac{\sqrt{3}}{2}cosC+\frac{1}{2}sinC）$•cosC
=$\frac{\sqrt{3}}{2}co{s}^{2}C$+$\frac{1}{2}sinCcosC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}co{s}^{2}C$+$\frac{\sqrt{3}}{8}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin²C-$\frac{\sqrt{3}}{4}co{s}^{2}C$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$．
（3）由（1）可得：a²=b²+c²-bc，
代入7c²-7b²=5a²，
∴7c²-7b²=5（b²+c²-bc），
化为$12（\frac{b}{c}）^{2}$-$5×\frac{b}{c}$-2=0，
解得$\frac{b}{c}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数恒等变形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．