Question

14．已知函数y=lg（$\frac{1}{x}$-1）的定义域为A，若对任意x∈A都有不等式$\frac{9x}{2-2x}$-m²x-2mx＞-2恒成立，则正实数m的取值范围是（0，$\frac{3\sqrt{6}-2}{2}$）．

Answer 1

分析 运用对数的真数大于0，可得A=（0，1），对已知不等式两边除以x，运用参数分离和乘1法，结合基本不等式可得不等式右边$\frac{\frac{9}{2}}{1-x}$+$\frac{2}{x}$的最小值，再解m的不等式即可得到m的范围．

解答 解：由函数y=lg（$\frac{1}{x}$-1）可得，
$\frac{1}{x}$-1＞0，解得0＜x＜1，
即有A=（0，1），
对任意x∈A都有不等式$\frac{9x}{2-2x}$-m²x-2mx＞-2恒成立，即有
$\frac{9}{2-2x}$-m²-2m＞-$\frac{2}{x}$，整理可得m²+2m＜$\frac{\frac{9}{2}}{1-x}$+$\frac{2}{x}$在（0，1）恒成立，
由$\frac{\frac{9}{2}}{1-x}$+$\frac{2}{x}$=（$\frac{\frac{9}{2}}{1-x}$+$\frac{2}{x}$）（1-x+x）=$\frac{9}{2}$+2+$\frac{\frac{9}{2}x}{1-x}$+$\frac{2（1-x）}{x}$
≥$\frac{13}{2}$+2$\sqrt{\frac{9}{2}×2}$=$\frac{25}{2}$．
即有m²+2m＜$\frac{25}{2}$，由于m＞0，
解得0＜m＜$\frac{3\sqrt{6}-2}{2}$，
故答案为：（0，$\frac{3\sqrt{6}-2}{2}$）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题．