Question

16．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右顶点分别为A₁，A₂，点P在C上且直线PA₂斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线PA₁斜率的取值范围是（　　）

• A． [-1，-$\frac{3}{10}$]
• B． [$\frac{3}{8}$，$\frac{3}{4}$]
• C． [-$\frac{3}{10}$，-$\frac{3}{20}$]
• D． [$\frac{3}{20}$，$\frac{3}{10}$]

Answer 1

分析 由双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可知其左顶点A₁（-$\sqrt{5}$，0），右顶点A₂（$\sqrt{5}$，0）．设P（x₀，y₀）（x₀≠±$\sqrt{5}$），则得$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-5}$=$\frac{3}{5}$，记直线PA₁的斜率为k₁，直线PA₂的斜率为k₂，则k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-5}$=$\frac{3}{5}$，再利用已知给出的直线PA₂斜率的取值范围是[-4，-2]，即可解出．

解答 解：由双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{5}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1可知其左顶点A₁（-$\sqrt{5}$，0），右顶点A₂（$\sqrt{5}$，0）．
设P（x₀，y₀）（x₀≠±$\sqrt{5}$），则得$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-5}$=$\frac{3}{5}$．
记直线PA₁的斜率为k₁，直线PA₂的斜率为k₂，则k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-5}$=$\frac{3}{5}$，
∵直线PA₂斜率的取值范围是[-4，-2]，
∴直线PA₁斜率的取值范围是[-$\frac{3}{10}$，-$\frac{3}{20}$]，
故选：C．

点评 熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键．