Question

19．已知四边形ABCD，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（1，1），$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则四边形ABCD的面积为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据题意，利用向量加法的平行四边形法则得到四边形ABCD是菱形且∠BAD=120°，因此算出|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|=$\sqrt{2}$，即可求出四边形ABCD的面积．

解答 解：因为四边形ABCD，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$，
所以四边形ABCD是平行四边形，
因为$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
所以AC是平行四边形ABCD的角平分线，平行四边形为菱形，且∠BAD=120°，
根据$\overrightarrow{AB}$=（1，1）可得菱形的边长为$\sqrt{2}$．
因此四边形ABCD的面积S=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×sin60°=$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题给出四边形ABCD满足的向量等式，求四边形ABCD的面积．着重考查了向量加法的平行四边形法、向量模的公式与平行四边形面积求法等知识，属于中档题．