Question

3．已知椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，过点P（1，1）作一条直线l交椭圆于A，B两点，当P恰为线段AB中点时，直线l的方程为3x+4y-7=0．

Answer 1

分析 利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则3x₁²+4y₁²=12，3x₂²+4y₂²=12，
∴3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0．
∵P（1，1）恰为线段AB的中点，即有x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
∴3（x₁-x₂）+4（y₁-y₂）=0，
∴直线AB的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
∴直线AB的方程为y-1=-$\frac{3}{4}$（x-1），
即3x+4y-7=0．
由于P在椭圆内，故成立．
故答案为：3x+4y-7=0．

点评 本题考查了“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题．