Question

12．设函数f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数．曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1．函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{a{x}^{2}}$
（1）求a，b的值； 
（2）求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得′（1）=-a=-1，可得a=1，由f（1）=b=0；
（2）求出函数g（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到切线方程．

解答 解（1）因为f（1）=b，由点（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1可得b=0，
因为f′（x）=an（1-x）x^n-1-axⁿ，所以f′（1）=-a，
又因为切线x+y=1的斜率为-1，所以-a=-1可得a=1，
所以a=1，b=0；
（2）函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{a{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
g′（x）=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}-2x{e}^{x}}{{x}^{4}}$，
即有曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率为g′（1）=-e，
切点为（1，e），
则曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y-e=-e（x-1），
即为切线方程ex+y-2e=0．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键．